Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝xln x．

（1）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）－a（x－1），其中a∈R，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）x＝是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在；

（2）當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）的最小值為0；當(dāng)1<a<2時(shí)，g（x）的最小值為a－ea－1；當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）的最小值為a＋e－ae．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變換，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可；（2）先通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，再通過(guò)分類討論法研究與區(qū)間的關(guān)系求其最值．

試題解析：（1）f′（x）＝ln x＋1，x>0，由f′（x）＝0得x＝，

所以f（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（，＋∞）上單調(diào)遞增．

所以，x＝是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在．

（2）g（x）＝xln x－a（x－1），則g′（x）＝ln x＋1－a，由g′（x）＝0，得x＝ea－1，

所以，在區(qū)間（0，ea－1）上，g（x）為遞減函數(shù)，在區(qū)間（ea－1，＋∞）上，g（x）為遞增函數(shù)．

當(dāng)ea－1≤1，即a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，g（x）為遞增函數(shù)，所以g（x）的最小值為g（1）＝0．

當(dāng)1<ea－1<e，即1<a<2時(shí)，g（x）的最小值為g（ea－1）＝a－ea－1．

當(dāng)ea－1≥e，即a≥2時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，g（x）為遞減函數(shù)，所以g（x）的最小值為g（e）＝a＋e－ae．

綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）的最小值為0；當(dāng)1<a<2時(shí)，g（x）的最小值為a－ea－1；當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）的最小值為a＋e－ae．