Question

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1，(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，并與雙曲線的實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)位(-

6

，-

3

2

)分別求：
（1）拋物線的方程
（2）雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，可得p=2c，利用拋物線過(guò)點(diǎn)(-

6

，-

3

2

)，可求求出c、p的值，從而可得拋物線方程
（2）利用雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1過(guò)點(diǎn)(-

6

，-

3

2

)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)a²+b²=c²，即可求得雙曲線方程．

解答：解：（1）由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的下焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的上焦點(diǎn)，∴p=2c．
設(shè)拋物線方程為x²=-4c•y，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)(-

6

，-

3

2

)，∴6=-4c•（-

3

2

）．
∴c=1，故拋物線方程為x²=-4y．
（2）∵雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1過(guò)點(diǎn)(-

6

，-

3

2

)，
∴

9 4

a2

-

6

b2

=1．
∵a²+b²=c²=1，∴

9 4

a2

-

6

1-a2

=1．
∴a²=

1

4

或a²=9
∵a²+b²=c²=1
∴a²=9（舍）．
∴b²=

3

4

，
故雙曲線方程為

y2

1 4

-

x2

3 4

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法：待定系數(shù)法，考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧．熟練掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．