(2012•江蘇一模)本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解、推理論證的能力.
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy,拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(1,0).過(guò)拋物線在x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B,作拋物線的切線AC、BD,與x軸分別交于C、D兩點(diǎn),且AC與BD交于點(diǎn)M,直線AD與直線BC交于點(diǎn)N.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:MN⊥x軸;
(3)若直線MN與x軸的交點(diǎn)恰為F(1,0),求證:直線AB過(guò)定點(diǎn).
分析:(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),利用焦點(diǎn)為F(1,0),可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),求出切線AC、BD的方程,求得M的橫坐標(biāo),求出直線AD、BC的方程,求得N的橫坐標(biāo),即可證得結(jié)論;
(3)求得A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程y0y=2(1+x),即直線AB的方程為y0y=2(1+x),從而可得結(jié)論.
解答:(1)解:由題意,可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則
p
2
=1
,即p=2.
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.…(3分)
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,y2>0.
由y2=4x(y>0),得y=2
x
,所以y′=
1
x

所以切線AC的方程為y-y1=
1
x1
(x-x1),即y-y1=
2
y 
(x-x1).
整理,得yy1=2(x+x1),①且C點(diǎn)坐標(biāo)為(-x1,0).
同理得切線BD的方程為yy2=2(x+x2),②且D點(diǎn)坐標(biāo)為(-x2,0).
由①②消去y,得xM=
x1y2-x2y1
y1-y2

又直線AD的方程為y=
y1
x1+x2
(x+x2)
,③
直線BC的方程為y=
y2
x1+x2
(x+x1)
.  ④
由③④消去y,得xN=
x1y2-x2y1
y1-y2

所以xM=xN,即MN⊥x軸.
(3)證明:由題意,設(shè)M(1,y0),代入(1)中的①②,得y0y1=2(1+x1),y0y2=2(1+x2).
所以A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程y0y=2(1+x).
所以直線AB的方程為y0y=2(1+x).
故直線AB過(guò)定點(diǎn)(-1,0).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解、推理論證的能力
練習(xí)冊(cè)系列答案
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x2
a2
+
y2
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=1(a>b>0)
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3
3
3
3

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13=1,
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13+23+33+43=100

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[
n(n+1)
2
]2
[
n(n+1)
2
]2
(n∈N*).

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Sn-m
Sn+1-m
2m
2m+1
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