【題目】在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

(1)求證：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；

(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】(1)證明：由題設an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列．

(2)解：由(1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－1＋n，所以數(shù)列{an}的前n項和Sn＝.

(3)證明：對任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＝－ (3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c（a＜b＜c）．已知向量 =（a，c）， =（cosC，cosA）滿足 = （a+c）．
（1）求證：a+c=2b；
（2）若2csinA﹣ a=0，且c﹣a=8，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2=2px（p＞0）上一點P（ ，m）到準線的距離與到原點O的距離相等，拋物線的焦點為F．
（1）求拋物線的方程；
（2）若A為拋物線上一點（異于原點O），點A處的切線交x軸于點B，過A作準線的垂線，垂足為點E．試判斷四邊形AEBF的形狀，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知空間三點，，

（1）求以為邊的平行四邊形的面積;

（2）若向量a分別與垂直，且|a|=，求a的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類比猜想并證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點,，在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點重合（如圖）

（I）寫出該拋物線的方程和焦點的坐標；

（II）求線段中點的坐標；

（III）求弦所在直線的方程

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)甲校高二年級有1 100人，乙校高二年級有900人，為了統(tǒng)計兩個學校高二年級在學業(yè)水平考試中的數(shù)學學科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學生的數(shù)學成績，如下表：（已知本次測試合格線是50分，兩校合格率均為100%）

甲校高二年級數(shù)學成績：

分組

[50,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

[90,100]

頻數(shù)

10

25

35

30

x

乙校高二年級數(shù)學成績：

分組

[50,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

[90,100]

頻數(shù)

15

30

25

y

5

（1）計算x，y的值，并分別估計以上兩所學校數(shù)學成績的平均分（精確到1分）．

（2）若數(shù)學成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分的為非優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)寫下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0．05的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異？”

甲校

乙校

總計

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是線段BC的中點．

（1）求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）＝x2－2（a＋1）x＋2alnx（a>0）．

（1）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）求f（x）的單調區(qū)間；

（3）若f（x）≤0在區(qū)間[1，e]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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