Question

四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形，=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1).

(1)求證PA⊥底面ABCD；

(2)求四棱錐P—ABCD的體積；

(3)對(duì)于向量a=(x₁,y₁,z₁),b=(x₂,y₂,z₂),c=(x₃,y₃,z₃),定義一種運(yùn)算：

(a×b)·c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂-x₁y₃z₂-x₂y₁z₃-x₃y₂z₁.

    試計(jì)算(×)·的絕對(duì)值的值；說(shuō)明其與四棱錐P—ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算(×)·的絕對(duì)值的幾何意義.

Answer 1

解析：(1)∵·=-2-2+4=0，

∴AP⊥AB.

    又∵·=-4+4+0=0，

∴AP⊥AD，∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線(xiàn)，∴AP⊥底面ABCD.

(2)設(shè)與的夾角為θ，則

cosθ=

=.

V=||·||·sinθ·||=··=16.

(3)|(×)·|=|-4-32-4-8|它是四棱錐P—ABCD體積的3倍.

    猜測(cè)：|(×)·|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積(或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積).