Question

（2012•上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知AB=2，AD=2

2

，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）可以利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證明出三角形PCD是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2

3

，最后得到三角形PCD的面積S；
（2）[解法一]建立如圖空間直角坐標(biāo)系，可得B、C、E各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而

AE

=（1，

2

，1），

BC

=（0，2

2

，0），利用空間向量數(shù)量積的公式，得到

AE

與

BC

夾角θ滿足：cosθ=

2

2

，由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為

π

4

；
[解法二]取PB的中點(diǎn)F，連接AF、EF，△PBC中，利用中位線定理，得到EF∥BC，從而∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線BC與AE所成的角，然后可以通過計算證明出：△AEF是以F為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以∠AEF=

π

4

，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為

π

4

．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA．
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC內(nèi)的相交直線．
∴CD⊥平面PDA，
∵PD?平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
∵Rt△PAD中，AD=2

2

，PA=2，
∴PD=

PA2+AD2

=2

3

．
∴三角形PCD的面積S=

1

2

×PD×DC=2

3

．
（2）[解法一]
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，可得B（2，0，0），C（2，2

2

，0），E（1，

2

，1）．
∴

AE

=（1，

2

，1），

BC

=（0，2

2

，0），
設(shè)

AE

與

BC

夾角為θ，則cosθ=

AE • BC

|AE| |BC|

=

4

2×2 2

=

2

2

，
∴θ=

π

4

，由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為

π

4

．
[解法二]
取PB的中點(diǎn)F，連接AF、EF、AC，
∵△PBC中，E、F分別是PC、PB的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線BC與AE所成的角．
∵Rt△PAC中，PC=

PA2+AC2

=4．
∴AE=

1

2

PC=2，
∵在△AEF中，EF=

1

2

BC=

2

，AF=

1

2

PB=

2

∴AF²+EF²=AE²，△AEF是以F為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴∠AEF=

π

4

，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為

π

4

．

點(diǎn)評：本題根據(jù)一個特殊的四棱錐，求異面直線所成的角和證明線面垂直，著重考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．