【題目】橢圓 的兩頂點為A,B如圖,離心率為 ,過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點,并與x軸交于點P,直線AC與直線BD交于點Q.

(Ⅰ)當(dāng) 時,求直線l的方程;
(Ⅱ)當(dāng)點P異于A,B兩點時,求證: 為定值.

【答案】解:(Ⅰ)由題意,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,

由已知得: ,所以 ,橢圓的方程為

當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符,

設(shè)直線l的方程為y=kx+1,C1(x1,y1),D(x2,y2),

將直線l的方程代入橢圓的方程化簡得(k2+2)x2+2kx﹣1=0,

, ,∴ = ,解得: ,

所以直線l的方程為

(Ⅱ)證明:當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符,

設(shè)直線l的方程為y=kx+1,(k≠0,k≠±1),C(x1,y1),D(x2,y2),∴P點的坐標(biāo)為 ,

由(Ⅰ)知 ,

且直線AC的方程為 ,且直線BD的方程為 ,

將兩直線聯(lián)立,消去y得 ,

∵﹣1<x1,x2<1,∴ 異號,

= , ,

與y1y2異號, 同號,

,解得,x=﹣k,

故Q點坐標(biāo)為(﹣k,y0),

,

為定值


【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意由兩點間的距離公式可得,要求出C、D的坐標(biāo)故可設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立用韋達(dá)定理即可得到C、D橫坐標(biāo)之間的關(guān)系再代入即可求解直線方程。(Ⅱ)先排除特殊情況再用向量法求解,即設(shè)出直線l的方程,聯(lián)立橢圓方程用韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)之間的關(guān)系,再代入向量數(shù)量積公式即可得證。

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ x2﹣x+a(a∈R)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)兩個極值點分別為x1 , x2 , 證明:x1x2>e2

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(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
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【題目】衡州市臨棗中學(xué)高二某小組隨機調(diào)查芙蓉社區(qū)160個人,以研究這一社區(qū)居民在20:00﹣22:00時間段的休閑方式與性別的關(guān)系,得到下面的數(shù)據(jù)表:

休閑方式
性別

看電視

看書

合計

20

100

120

20

20

40

合計

40

120

160

下面臨界值表:

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828


(Ⅰ)將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機調(diào)查3名在該社區(qū)的男性,設(shè)調(diào)查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機變量X,求X的分別列和期望;
(Ⅱ)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認(rèn)為“在20:00﹣22:00時間段的休閑方式與性別有關(guān)系”?

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1)求的解析式;

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(1)分別將AB兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;

(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部投入AB兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?

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