Question

【題目】某學(xué)校為了對教師教學(xué)水平和教師管理水平進(jìn)行評價，從該校學(xué)生中選出300人進(jìn)行統(tǒng)計．其中對教師教學(xué)水平給出好評的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的60%，對教師管理水平給出好評的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的75%，其中對教師教學(xué)水平和教師管理水平都給出好評的有120人．
（1）填寫教師教學(xué)水平和教師管理水平評價的2×2列聯(lián)表：

	對教師管理水平好評	對教師管理水平不滿意	合計
對教師教學(xué)水平好評
對教師教學(xué)水平不滿意
合計

問：是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評與教師管理水平好評有關(guān)、
（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評價，設(shè)對教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評的人數(shù)為隨機(jī)變量X；
①求對教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評的人數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K2= ，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得關(guān)于教師教學(xué)水平和教師管理水平評價的2×2列聯(lián)表：

	對教師管理水平好評	對教師管理水平不滿意	合計
對教師教學(xué)水平好評	120	60	180
對教師教學(xué)水平不滿意	105	15	120
合計	225	75	300

，

∴可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評與教師管理水平好評有關(guān)；

（2）解：①對教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評的概率為 ，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中 ； ； ； ； ，

X 的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

②由于X～B（4， ），則 ， ．

br />【解析】（1）根據(jù)題意，可得關(guān)于教師教學(xué)水平和教師管理水平評價的2×2列聯(lián)表，計算K2 ， 驗證K2是否大于10.828，即可得出結(jié)論；（2）①分別求出X所有可能取值的概率，得出X的分布列；②由于X～B（4， ），即可計算數(shù)學(xué)期望和方差．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識點，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．