Question

【題目】對于數(shù)列{an}，若an+2﹣an=d（d是與n無關的常數(shù)，n∈N*），則稱數(shù)列{an}叫做“弱等差數(shù)列”，已知數(shù)列{an}滿足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b對于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常數(shù)）．
（1）求證：數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”，并求出數(shù)列{an}的通項公式；
（2）當t=1，s=3時，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求出a、b的值，并求出{an}的前n項和Sn；
（3）若s＞t，且數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數(shù)列{an}滿足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b對于n∈N*恒成立，

∴an+1=an+b﹣an，

an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，

∴an+2﹣an=a，

∴數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”．

∵a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，

∴{an}中奇數(shù)項是以t為首項，以a為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)列是以s為首項，以a為公差的等差數(shù)列，

∴an=

（2）解：∵當t=1，s=3時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，

∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，

∴ ，解得a=4，b=0，

∴數(shù)列{an}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，

∴Sn=2n+ =n2+n

（3）解：∵s＞t，且數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，

∴a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，

∴a＞s﹣t．

∴a的取值范圍是（s﹣t，+∞）

【解析】（1）由已知得an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an ， 由此能證明數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”．由a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，得到{an}中奇數(shù)項是以t為首項，以a為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)列是以s為首項，以a為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的通項公式．（2）由遞推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)能求出a=4，b=0，從而得到數(shù)列{an}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，由此能求了Sn ． （3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由經(jīng)能求出a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系．