【題目】已知為等腰直角三角形,,將沿底邊上的高線折起到位置,使,如圖所示,分別取的中點(diǎn).
(1)求二面角的余弦值;
(2)判斷在線段上是否存在一點(diǎn),使平面?若存在,求出點(diǎn)的位置,若不存在,說明理由.
【答案】(1)(2)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí),平面.
【解析】
試題(1)以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果;(2)假設(shè)在線段上存在一點(diǎn),使平面,設(shè),根據(jù)可求得.
試題解析:由題知,且,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn).
(1),設(shè)平面的法向量為,則
,得,得,當(dāng)時(shí),得,同理可得平面的一個(gè)法向量為,那么,
所以二面角的余弦值為;
(2)假設(shè)在線段上存在一點(diǎn),使平面,設(shè),
則由,得,得,
那么,當(dāng)平面時(shí),,
即存在實(shí)數(shù),使,解得,那么,
即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí),平面.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角的大小以及存在性問題,屬于中檔題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列,首項(xiàng)且,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,是橢圓的左、右焦點(diǎn),過作直線交橢圓于兩點(diǎn),若的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線的斜率不為0,且它的中垂線與軸交于點(diǎn),求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍;
(3)是否在軸上存在點(diǎn),使得軸平分?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,分別記錄了4月1日至4月5日每天的晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 |
溫差 | 12 | 11 | 13 | 10 | 8 |
發(fā)芽率顆 | 26 | 25 | 30 | 23 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,求至少有一天種子發(fā)芽數(shù)超過25顆的概率;
(2)請(qǐng)根據(jù)4月1日、4月2日、4月3日這3天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)根據(jù)(2)中所得的線性回歸方程,預(yù)測(cè)溫差為時(shí),種子發(fā)芽的顆數(shù).
參考公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=135°,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),點(diǎn)M在線段PD上.
(Ⅰ)求證:EF⊥平面PAC;
(Ⅱ)若M為PD的中點(diǎn),求證:ME∥平面PAB;
(Ⅲ)如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),,離心率為,的周長(zhǎng)等于,點(diǎn)、在橢圓上,且在邊上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,過圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線和與圓交與點(diǎn)、,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不一定正確的是( )
A. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中后占一半以上
B. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的
C. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)后比前多
D. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)后比后多
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值,記交通指數(shù)為,其范圍為,分別有五個(gè)級(jí)別:,暢通;,基本暢通;,輕度擁堵;,中度擁堵;,嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段(),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫(gè)數(shù);
(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段,求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù);
(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè),求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶(約1202—1261)被國外科學(xué)史家贊譽(yù)為“他那個(gè)民族,那個(gè)時(shí)代,并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”.他獨(dú)立推出了“三斜求積”公式,求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí).一為從隅,開平方得積.”把以上這段文字寫成從三條邊長(zhǎng)求三角形面積的公式,就是.現(xiàn)如圖,已知平面四邊形中,,,,,,則平面四邊形的面積是_________.
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