Question

【題目】已知拋物線C：，點(diǎn)在x軸的正半軸上，過點(diǎn)M的直線l與拋線C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

若，且直線l的斜率為1，求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切；

是否存在定點(diǎn)M，使得不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)，恒為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)見解析

【解析】

寫出直線AB方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長公式計(jì)算值，并求出線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，證明該距離等于的一半，即可證明結(jié)論成立；設(shè)直線AB的方程為，并設(shè)點(diǎn)、，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式得出的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式為定值得出m的值，從而可求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)．

當(dāng)時(shí)，且直線l的斜率為1時(shí)，直線l的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線l的方程代入拋物線C的方程，消去y得，，

由韋達(dá)定理可得，，

由弦長公式可得，

線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，所以，線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，

因此，以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切；

設(shè)直線l的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線l的方程代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得，

由韋達(dá)定理可得，，

，同理可得，

所以，為定值，

所以，，即時(shí)，恒為定值．

此時(shí)，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為．