Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面．底面是菱形，．

（Ⅰ）求證：直線(xiàn)平面；

（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正切值；

（Ⅲ）已知在線(xiàn)段上，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析；（II）；（III）

【解析】

（I）由菱形的性質(zhì)，得AC⊥BD；由PA⊥平面ABCD證出PA⊥BD，結(jié)合AC、PA是平面PAC內(nèi)的相交直線(xiàn)，可得BD⊥平面PAC；

（II）過(guò)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連結(jié)PE．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BE，結(jié)合PA∩AD＝A證出BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直線(xiàn)PB與平面PAD所成角．Rt△BPE中，利用三角函數(shù)的定義算出tan∠BPE，即得結(jié)果；

（III）設(shè)F為CM的中點(diǎn)，連結(jié)BF、DF，由等腰△BMC與等腰△DMC有公共的底面，證出∠BFD為二面角B﹣MC﹣D的平面角．然后在△BFD中，利用余弦定理，算出cos∠BFD，即得結(jié)果．

（I）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD

∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴PA⊥BD

又∵AC、PA是平面PAC內(nèi)的相交直線(xiàn)，

∴直線(xiàn)BD⊥平面PAC；

（II）過(guò)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連結(jié)PE

∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，∴PA⊥BE

∵BE⊥AD，PA∩AD＝A

∴BE⊥平面PAD，可得∠BPE就是直線(xiàn)PB與平面PAD所成角

∵Rt△BPE中，BE，PE

∴tan∠BPE，即PB與平面PAD所成角的正切值等于；

（III）設(shè)F為CM的中點(diǎn)，連結(jié)BF、DF

∵△BMC中，BM＝BC，∴BF⊥CM．同理可得DF⊥CM

∴∠BFD就是二面角B﹣MC﹣D的平面角

在△BFD中，BD＝2，BF＝DF，

∴由余弦定理，得cos∠BFD

由此可得二面角B﹣MC﹣D的余弦值等于．