Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），對(duì)任意的x∈R，都有f（x﹣4）=f（2﹣x）成立，
（1）求2a﹣b的值；
（2）函數(shù)f（x）取得最小值0，且對(duì)任意x∈R，不等式x≤f（x）≤（ ）2恒成立，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若方程f（x）=x沒有實(shí)數(shù)根，判斷方程f（f（x））=x根的情況，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x﹣4）=f（2﹣x）成立，可得函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為x= =﹣1，

∴﹣ =﹣1，∴2a﹣b=0

（2）解：當(dāng)x=﹣1 時(shí)，f（x）=a﹣b+c=0，

對(duì)于不等式x≤f（x）≤（ ）2 ，當(dāng)x=1時(shí)，有1≤f（1）≤1，∴f（1）=a+b+c=1．

由以上方程解得 a= =c，b= ，∴函數(shù)的解析式為

（3）解：因?yàn)榉匠蘤（x）=x無(wú)實(shí)根，所以當(dāng)a＞0時(shí)，不等式f（x）＞x恒成立，

∴f（f（x））＞f（x）＞x，故方程f（f（x））=x無(wú)實(shí)數(shù)解．

當(dāng)a＜0時(shí)，不等式f（x）＜x恒成立，∴f（f（x））＜f（x）＜x，

故方程f（f（x））=x無(wú)實(shí)數(shù)解，

綜上得：方程f（f（x））=x無(wú)實(shí)數(shù)解

【解析】（1）由f（x﹣4）=f（2﹣x）成立，可得函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為 x=﹣ =﹣1，由此求得 2a﹣b的值． （2）當(dāng)x=﹣1 時(shí)，f（x）=a﹣b+c=0，對(duì)于不等式x≤f（x）≤（ ）2 ， 當(dāng)x=1時(shí)，由1≤f（1）≤1，可得f（1）=a+b+c=1．求得a、b、c的值，可得函數(shù)的解析式．（3）由題意可得，當(dāng)a＞0時(shí)，不等式f（x）＞x恒成立，f（f（x））＞f（x）＞x，方程f（f（x））=x無(wú)實(shí)數(shù)解．當(dāng)a＜0時(shí)，由不等式f（x）＜x恒成立，可得f（f（x））＜f（x）＜x，方程f（f（x））=x無(wú)實(shí)數(shù)解，綜合可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．