【題目】如圖,在多面體ABCDNPM中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,ABAP=2,PMAB,PNAD,PMPN=1.

(1)求證:MNPC;

(2)求平面MNC與平面APMB所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)先利用平行關(guān)系證明線線平行,利用菱形的對角線垂直、線面垂直的判定和性質(zhì)進行證明;(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點的坐標(biāo),求出有關(guān)直線的方向向量和平面的法向量,再利用空間向量的夾角公式進行求解.

試題解析:(1)證明:作ME∥PA交AB于E,NF∥PA交AD于F,連接EF,BD,AC.

由PM∥AB,PN∥AD,易得,所以四邊形MEFN是平行四邊形,

所以MN∥EF,因為底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,又易得EF∥BD,所以AC⊥EF,所以AC⊥MN,

因為PA⊥平面ABCD,EF平面ABCD,所以PA⊥EF,所以PA⊥MN,因為AC∩PA=A,

所以MN⊥平面PAC,故MN⊥PC.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則C(0,1,0),M,N,A(0,-1,0),P(0,-1,2),B(,0,0),

所以,=(0,0,2),=(,1,0),設(shè)平面MNC的法向量為m=(x,y,z),則z=1,得x=0,y=,所以m;

設(shè)平面APMB的法向量為n=(x1,y1z1),則

x1=1,得y1=-z1=0,所以n=(1,-,0),

設(shè)平面MNC與平面APMB所成銳二面角為α,

則cos α=,

所以平面MNC與平面APMB所成銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】下列判斷正確的是(

A.

B.命題都是偶數(shù),則是偶數(shù)的逆否命題是不是偶數(shù),則都不是偶數(shù)

C.為假命題,則且非是真命題

D.已知是實數(shù),關(guān)于的不等式的解集是空集,必有

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A. 命題”,則:“

B. 命題“若,則”的否命題是真命題

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D. 的充分不必要條件,則的必要不充分條件

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①若,,則

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③若,,則

④若,則

其中正確命題的序號是(

A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

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(Ⅱ)已知直線與曲線交于, 兩點,與軸交于點,求.

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【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時,求在區(qū)間上的最值;

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(3)當(dāng)時,有恒成立,求的取值范圍.

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【題目】已知不等式。

(1) 若對于所有的實數(shù)x不等式恒成立,求m的取值范圍;

(2) 設(shè)不等式對于滿足的一切m的值都成立,求x的取值范圍。

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【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率為80%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4,5,6,7,8表示命中,9,0表示未命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):

907

966

191

925

271

932

812

458

569

683

431

257

393

027

556

488

730

113

537

989

據(jù)此估計,該運動員三次投籃均命中的概率為( )

A.B.C.D.

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