Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)已知直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（1）直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0；（2）3.

【解析】試題分析：(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.

試題解析：(1)由曲線C的參數(shù)方程 (α為參數(shù)) (α為參數(shù))，

兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；

由直線l的極坐標(biāo)方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，

即直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0.

(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．

設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，

將 (t為參數(shù))代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，

則Δ>0，由韋達(dá)定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.