Question

某分公司經(jīng)銷某種品牌的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a（3≤a≤5）元的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為x（9≤x≤11）元時，一年的銷售量為（12-x）²萬件．
（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先求出每件產(chǎn)品的利潤，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)L與x的函數(shù)關(guān)系式先求出該函數(shù)的導數(shù)，令L′（x）=0便可求出極值點，從而求出時最大利潤，再根據(jù)a的取值范圍分類討論當a取不同的值時，最大利潤各為多少．

解答：解：（1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式為：
L=（x-3-a）（12-x）²，x∈[9，11]．
（2）L′（x）=（12-x）²+2（x-3-a）（12-x）×（-1）=（12-x）²-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）．
令L′（x）=0得x=6+

2

3

a或x=12（不合題意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴8≤6+

2

3

a≤

28

3

．
在x=6+

2

3

a兩側(cè)L′的值由正值變負值．
所以，當8≤6+

2

3

a≤9，即3≤a≤

9

2

時，
L_max=L（9）=（9-3-a）（12-9）²=9（6-a）；
當9＜6+

2

3

a≤

28

3

，即

9

2

＜a≤5時，
L_max=L（6+

2

3

a）=（6+

2

3

a-3-a）[12-（6+

2

3

a）]²
=4（3-

1

3

a）³，
Q(a)=

9(6-a)3≤a≤ 9 2 4(3- 1 3 a)3 9 2 ＜a≤5

即當3≤a≤

9

2

時，當每件售價為9元，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9（6-a）萬元；
當

9

2

＜a≤5時，當每件售價為（6+

3

2

a）元，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=4（3-

1

3

a）³萬元．

點評：本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的求法以及利用導數(shù)來求得函數(shù)的最值問題，是各地高考的熱點和難點，解題時注意自變量的取值范圍以及分類討論等數(shù)學思想的運用，屬于中檔題．