Question

（2013•棗莊一模）某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每件產(chǎn)品須向總公司繳納a元（a為常數(shù)，2≤a≤5）的管理費(fèi)，根據(jù)多年的統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元時(shí)，產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量為

k

ex

（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）萬(wàn)件，已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量為500萬(wàn)件．經(jīng)物價(jià)部門(mén)核定每件產(chǎn)品的售價(jià)x最低不低于35元，最高不超過(guò)41元．
（1）求分公司經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L（x）萬(wàn)元與每件產(chǎn)品的售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L（x）最大，并求出L（x）的最大值．
參考公式：（c^ax+b）′=ae^ax+b（a、b為常數(shù)）

Answer 1

分析：（1）由每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量為500萬(wàn)件，代入可得k值，進(jìn)而根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量得到該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L（x）萬(wàn)元與每件產(chǎn)品的售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）中所得函數(shù)的解析式，求導(dǎo)后分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析出該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L（x）的最大值．

解答：解：（1）由題意，該產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量為y=

k

ex

將x=40，y=500代入得k=500e⁴⁰
故該產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量為y=500e^40-x…2分
故L（x）=（x-30-a）y=500（x-30-a）e^40-x（35≤x≤41）…4分
（2）由（1）得，L′（x）=500[e^40-x-（x-30-a）e^40-x]=500e^40-x（31+a-x），（35≤x≤41）…5分
①當(dāng)2≤a≤4時(shí)，L′（x）≤500e^40-x（31+4-35）=0，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，x=35時(shí)取等號(hào)
故L（x）在[35，41]上單調(diào)遞減
故L（x）的最大值為L(zhǎng)（35）=500（5-a）e⁵…8分
②當(dāng)4＜a≤5時(shí)，L′（x）＞0?35≤x＜31+a，
L′（x）＜0?31+a＜x≤41
故L（x）在[35，31+a]上單調(diào)遞增，在[31+a，41]上單調(diào)遞減
故L（x）的最大值為L(zhǎng)（31+a）=500e^9-a…8分
綜上所述，當(dāng)2≤a≤4時(shí)，每件產(chǎn)品的售價(jià)為35元時(shí)，該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為500（5-a）e⁵萬(wàn)元；當(dāng)4＜a≤5時(shí)，每件產(chǎn)品的售價(jià)為（31+a）元時(shí)，該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為500e^9-a萬(wàn)元；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中求出函數(shù)的解析式是解答（1）的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性是解答（2）的關(guān)鍵．