Question

【題目】己知圓F1：(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3)，圓F2：(x-1)2+y2= (4-r)2．

（1）證明：圓F1與圓F2有公共點(diǎn)，并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程；

（2）已知點(diǎn)Q(m，0)(m<0)，過點(diǎn)E斜率為k(k≠0）的直線與（Ⅰ）中軌跡E相交于M，N兩點(diǎn)，記直線QM的斜率為k1，直線QN的斜率為k2，是否存在實(shí)數(shù)m使得k(k1+k2)為定值？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）存在，

【解析】

（1）求出圓和圓的圓心和半徑，通過圓F1與圓F2有公共點(diǎn)求出的范圍，從而根據(jù)可得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求出方程；

（2）過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及，，可得，根據(jù)其為定值，則有，進(jìn)而可得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)閳A的半徑為，圓的半徑為，

又因?yàn)?/span>，所以，即，

所以圓與圓有公共點(diǎn)，

設(shè)公共點(diǎn)為，因此，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，

所以，，，

即軌跡的方程為；

（2）過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)，

由消去得到，

則，， ①

因?yàn)?/span>，，

所以

，

將①式代入整理得

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.

即存在實(shí)數(shù)使得.