【題目】(本小題共13分)已知等差數(shù)列的前項和為,a2=4, S5=35.
(Ⅰ)求數(shù)列的前項和;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前n項和.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的首項為a1,公差為d.
則∴, ………………5分
∴.
∴ 前項和. ……………7分
(Ⅱ)∵,
∴,且b1=e. ………………8分
當(dāng)n≥2時,
為定值, ………………10分
∴ 數(shù)列構(gòu)成首項為e,公比為e3的等比數(shù)列. ……………11分
∴. ………………13分
數(shù)列的前n項的和是.
【解析】
l
試題(Ⅰ)由題可知,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式,可解得,所以前n項和為;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,當(dāng)時,,可知其是首項為e,公比為e3的等比數(shù)列,故;
試題解析:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的首項為a1,公差為d.
則∴,
所以.
故前項和.
(Ⅱ)由于,故,且b1=e.
當(dāng)n≥2時,為定值,
所以數(shù)列構(gòu)成首項為e,公比為e3的等比數(shù)列.
故.
數(shù)列的前n項的和是.
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【題目】已知函數(shù),若在處的切線方程為.
(I)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)證明,函數(shù)在x軸的上方無圖像;
(Ⅲ)確定實數(shù)k的取值范圍,使得存在,當(dāng)時,恒有.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2:ρ2﹣4ρcosθ+3=0.
(1)求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點P在曲線C1上,點Q曲線C2上,求|PQ|的最小值.
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【題目】已知(為自然對數(shù)的底數(shù)),.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極小值;
(2)當(dāng)時,關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標(biāo)測驗(指標(biāo)值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述不正確的是( )
A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)
C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算最強
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,是正三角形,為線段的中點,點為底面內(nèi)的動點,則下列結(jié)論正確的是( )
A.若時,平面平面
B.若時,直線與平面所成的角的正弦值為
C.若直線和異面時,點不可能為底面的中心
D.若平面平面,且點為底面的中心時,
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【題目】己知圓F1:(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3),圓F2:(x-1)2+y2= (4-r)2.
(1)證明:圓F1與圓F2有公共點,并求公共點的軌跡E的方程;
(2)已知點Q(m,0)(m<0),過點E斜率為k(k≠0)的直線與(Ⅰ)中軌跡E相交于M,N兩點,記直線QM的斜率為k1,直線QN的斜率為k2,是否存在實數(shù)m使得k(k1+k2)為定值?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱. (為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若的圖象在點處的切線經(jīng)過點,求的值;
(2)若不等式恒成立,求正整數(shù)的最小值.
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