Question

已知a＞1，n≥2，n∈N^*．求證：

n	a

-1＜

a-1

n

．

Answer 1

分析：欲證

n	a

-1＜

a-1

n

，轉(zhuǎn)化成指數(shù)式t+1＜（1+

t

n

）ⁿ．再對指數(shù)式利用二項(xiàng)定理展開，結(jié)合放縮法證得即可．

解答：證明：要證

n	a

-1＜

a-1

n

，
即證a＜（

a-1

n

+1）ⁿ．
令a-1=t＞0，則a=t+1．
也就是證t+1＜（1+

t

n

）ⁿ．
∵（1+

t

n

）ⁿ=1+C_n¹

t

n

+…+C_nⁿ（

t

n

）ⁿ＞1+t，
即

n	a

-1＜

a-1

n

成立．

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，屬于中檔題．本題還考查了二項(xiàng)式定理的展開式，一般地，涉及不等關(guān)系的指數(shù)式可應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開后進(jìn)行放縮．