Question

若方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲線為C，給出下列四個命題：
①若C為橢圓，則1＜t＜4；
 ②若C為雙曲線，則t＞4或t＜1；
③曲線C不可能是圓；        
④若1＜t＜

5

2

，曲線C為橢圓，且焦點坐標為(±

5-2t

，0)；
⑤若t＜1，曲線C為雙曲線，且虛半軸長為

1-t

．
其中真命題的序號為

②④⑤

．（把所有正確命題的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析：①若C為橢圓，則

4-t＞0 t-1＞0 4-t≠t-1

，故1＜t＜4且t≠

5

2

；
②若C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，故t＞4或t＜1；
③t=

5

2

時，曲線C是圓，；        
④若1＜t＜

5

2

，曲線C為橢圓，此時焦點在x軸上，由此可得焦點坐標；
⑤若t＜1，曲線C為雙曲線，此時焦點在x軸上，由此可得虛半軸長為

1-t

．

解答：解：①若C為橢圓，則

4-t＞0 t-1＞0 4-t≠t-1

，∴1＜t＜4且t≠

5

2

，故①不正確；
②若C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，∴t＞4或t＜1，故②正確；
③t=

5

2

時，曲線C是圓，故③不正確；        
④若1＜t＜

5

2

，曲線C為橢圓，此時焦點在x軸上，且焦點坐標為(±

5-2t

，0)，故④正確；
⑤若t＜1，曲線C為雙曲線，此時焦點在x軸上，且虛半軸長為

1-t

，故⑤正確．
綜上真命題的序號為②④⑤
故答案為：②④⑤

點評：本題考查圓錐曲線，考查學生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．