如圖,點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別為線段PB,PC的中點(diǎn),且AD=4,PA=AB=2
(1)求直線EC和面PAD所成的角
(2)求點(diǎn)P到平面AFD的距離.
(1)分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,2)
∴E(1,0,1),F(xiàn)(1,2,1),
EC
=(1,4,-1)

∵AB⊥平面PAD
∴平面PAD的法向量為
AB
=(2,0,0)
設(shè)直線EC與平面PAD所成的角為α,則sinα=
EC
AB
|
EC
||
AB
|
=
2
6

∴直線EC與平面PAD所成的角為arcsin
2
6

(2)由(1)可知
AF
=(1,2,1),
AD
=(0,4,0)

設(shè)平面AFD的法向量為
n
=(x,y,z),點(diǎn)P到平面AFD的距離為d
AF
n
=0
AD
n
=0
,可得
x+2y+z=0
4y=0
,∴取
n
=(1,0,-1)
AP
=(0,0,2)

∴d=
|
AP
n
|
|
n
|
=
2

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn),且SA=SB=SC,SG為△SAB上的高,D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn),試判斷SG與平面DEF的位置關(guān)系,并給予證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若平面α與β的法向量分別是
a
=(2,4,-3),
b
=(-1,2,2)
,則平面α與β的位置關(guān)系是( 。
A.平行B.垂直
C.相交但不垂直D.無法確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是AB中點(diǎn),AC=1,BC=2,AA1=4.
(1)當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí),求證:CF平面AEB1;
(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A-EB1-B的余弦值是
2
17
17
,若存在,求CE的長,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中,AB=
3
,BC=1,PA=2,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,E為PD的中點(diǎn)
(Ⅰ)求直線AC與PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NE⊥面PAC,并求出點(diǎn)N到AB和AP的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).
(1)證明:CD⊥AE;
(2)證明:PD⊥平面ABE;
(3)求二面角B-PC-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,則當(dāng)△AEF的面積最大時(shí),tanθ的值為( 。
A.2B.
1
2
C.
2
D.
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CD⊥平面PAE;
(Ⅱ)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知等腰梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=1,高DO=1.以高線DO為折痕,將平面ADO折起,使得平面ADO⊥平面BCDO,點(diǎn)H為棱AC的中點(diǎn).
(1)求直線OC與直線AB所成的余弦值;
(2)求平面ADO與平面ACB所成的銳二面角的余弦值;
(3)在平面ADO內(nèi)找一點(diǎn)G,使得GH⊥平面ACB.

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同步練習(xí)冊答案