已知f（x）=x3-
9
2
x2+6x+m2，其中m∈R，
（1）若函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線過點（-1，2），求m的值；
（2）若?x∈[0，3]，f（x）≤m，求m的取值范圍．
（1）∵f（x）=x3-
9
2
x2+6x+m2，
∴f′（x）=3x2-9x+6，
∴切線的斜率k=f′（0）=6，又切點（0，m2），
根據(jù)點斜式，可得斜線的方程為y-m2=6x，即y=6x+m2，
∵函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線過點（-1，2），
∴2=6×（-1）+m2，
∴m=±2
2
．
（2）∵?x∈[0，3]，f（x）≤m，則等價于x3-
9
2
x2+6x≤m-m2在[0，3]有解，
令g（x）=x3-
9
2
x2+6x，
∴x3-
9
2
x2+6x≤m-m2在[0，3]有解，即g（x）min≤m-m2，
以下求g（x）在[0，3]的最小值，
令g′（x）=3x2-9x+6=0，解得x=1或x=2，
當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，即g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
當x∈（1，2）時，g′（x）＜0，即g（x）在（1，2）單調(diào)遞減，
當x∈（2，3）時，g′（x）＞0，即g（x）在（2，3）單調(diào)遞增，
∴g（x）在x=2處取得極小值g（2）=2，
又∵g（0）=0，g（3）=
9
2
，
∴g（x）min=0，
∴0≤m-m2，解得0≤m≤1，
∴m的取值范圍為[0，1]．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知A是曲線C1：y=
a
x-2
（a＞0）與曲線C2：x2+y2=5的一個公共點．若C1在A處的切線與C2在A處的切線互相垂直，則實數(shù)a的值是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
2ax-a2+1
x2+1
（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當a≠0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知f（x）=ex，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求證：g（x）＜x＜f（x）；
（Ⅱ）設直線l與f（x）、g（x）均相切，切點分別為（x1，f（x1））、（x2，g（x2）），且x1＞x2＞0，求證：x1＞1．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設f(x)=
ex
1+ax2
，其中a為正實數(shù)
（Ⅰ）當a=
4
3
時，求f（x）的極值點；
（Ⅱ）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
，則
lim
n→+∞
n2[f(n+1)-f(n)]=______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

記an為(1+x)n+1的展開式中含xn-1項的系數(shù)，則
lim
n→∞
(
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
)=______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+ax+b（a，b∈R）在x=2處取得極小值-
4
3
．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=lnx-x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式af（x）≥x-
1
2
x2在x∈（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）n∈N+，求證：
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
＞
n
n+1
．

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