Question

已知A是曲線C₁：y=

a

x-2

（a＞0）與曲線C₂：x²+y²=5的一個公共點．若C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，則實數(shù)a的值是______．

Answer 1

設點A的坐標為（x₀，y₀），代入兩曲線方程得：
y₀=

a

x0-2

①，x₀²+y₀²=5②，
由曲線C₁：y=

a

x-2

得：y′=-

a

(x-2)2

，
則曲線C₁在A處的切線的斜率k=-

a

(x0-2)2

，
所以C₁在A處的切線方程為：y=-

a

(x0-2)2

（x-x₀）+y₀，
由C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，
得到切線方程y=-

a

(x0-2)2

（x-x₀）+y₀過圓C₂的圓心（0，0），
則有-

a

(x0-2)2

（0-x₀）+y₀=0，即y₀=-

ax0

(x0-2)2

③，
把③代入①得：

a

x0-2

=-

a

(x0-2)2

x₀從而x0=1再代入①得：y₀=-a；代入②，
得：1+a²=5（a＞0）．
則a=2（-2舍去）．
故實數(shù)a的值為2．