Question

以下三個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，K為非零常數(shù)，若|PA|-|PB|=K，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線．
②方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
③雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點(diǎn)．
④已知拋物線y²=2px，以過焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線相切
其中真命題為

②③④

（寫出所以真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的定義，可判斷①的真假；解方程求出方程的兩根，根據(jù)橢圓和雙曲線的簡單性質(zhì)，可判斷②的真假；根據(jù)已知中雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷③的真假；設(shè)P為AB中點(diǎn)，A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q，根據(jù)拋物線的定義，可知AP+BP=AM+BN，從而 PQ=

1

2

AB，所以以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切．

解答：解：A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，K為非零常數(shù)，若|PA|-|PB|=K，當(dāng)K=|AB|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是兩條射線，故①錯(cuò)誤；
方程2x²-5x+2=0的兩根為

1

2

和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故②正確；
雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±

34

，0），橢圓

x2

35

-y²=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±

34

，0），故③正確；
設(shè)AB為過拋物線焦點(diǎn)F的弦，P為AB中點(diǎn)，A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q，
∵AP+BP=AM+BN
∴PQ=

1

2

AB，
∴以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切，故④正確
故正確的命題有：②③④
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題④以拋物線為載體，考查拋物線過焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化，綜合性強(qiáng)．