Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上的最大值是，求的值；

（3）記,當(dāng)時(shí)，若對任意，總有成立，試求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間；減區(qū)間；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識求解；（2）借助題設(shè)運(yùn)用分類整合思想探求；（3）借助題設(shè)構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識分析探求.

試題解析：

（1）的定義域是..當(dāng)時(shí)，,故在上是增函數(shù); 當(dāng)時(shí)，令，則（舍去）; 當(dāng)時(shí)，,故在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí)，,故在上是減函數(shù).

（2）①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù); 故在上的最大值是 ,顯然不合題意. ②若, 即時(shí), ,則在上是增函數(shù)，故在上的最大值是 ,不合題意，舍去.

③ 若, 即時(shí)，在上是增函數(shù) ，在上是減函數(shù)，故在上的最大值是 , 解得，符合. 綜合①、②、③得: .

（3）, 則,當(dāng)時(shí)，,故時(shí)，當(dāng)在上是減函數(shù)，不妨設(shè)，則，故等價(jià)于，即，記

，從而在上為減函數(shù)，由得:

,故恒成立，，又

在上單調(diào)遞減，

,.故當(dāng)時(shí)，的最大值為.