Question

六名學生需依次進行身體體能和外語兩個項目的訓練及考核．每個項目只有一次補考機會，補考不合格者不能進入下一個項目的訓練（即淘汰），若每個學生身體體能考核合格的概率是

1

2

，外語考核合格的概率是

2

3

，假設每一次考試是否合格互不影響．
①求某個學生不被淘汰的概率．
②求6名學生至多有兩名被淘汰的概率．
③假設某學生不放棄每一次考核的機會，用ζ表示其參加補考的次數(shù)，求隨機變量ζ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：①正面：分別求出兩個項目都不補考能通過概率，兩個項目中有一個項目要補考才能通過的概率，兩個項目都要補考才能通過的概率，三個相加可求出某個學生不被淘汰的概率．
②6名學生至多有兩名被淘汰的概率有三種情形，沒有被淘汰，有一個被淘汰，有兩個被淘汰，求出三個概率和即可；
③ζ表示其參加補考的次數(shù)，取值可能為0，1，2，然后分別求出相應的概率，最后利用數(shù)學期望公式解之即可．

解答：解：①正面：兩個項目都不補考能通過概率：P₁=

1

2

×

2

3

=

1

3

兩個項目中有一個項目要補考才能通過的概率：P2=(1-

1

2

)×

1

2

×

2

3

+

1

2

×(1-

2

3

)×

2

3

=

5

18

，
兩個項目都要補考才能通過的概率：P3=(1-

1

2

)×

1

2

×(1-

2

3

)×

2

3

=

1

18

∴P=P1+P2+P3=

1

3

+

5

18

+

1

18

=

12

18

=

2

3

②P=

C

0 6

(

1

3

)0(

2

3

)6+

C

1 6

(

1

3

)1(

2

3

)5+

C

2 6

(

1

3

)2(

2

3

)4=

496

729

③P(ξ=0)=

1

2

×

2

3

=

1

3

P(ξ=1)=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

3

+

1

2

×

1

2

×

2

3

=

7

12

P(ξ=2)=(

1

2

)2×

1

3

×1=

1

12

ξ	0	1	2
P	1 3	7 12	1 12

Eξ=0×

1

3

+1×

7

12

+2×

1

12

=

3

4

點評：本題主要考查了離散型隨機變量的期望，以及相互獨立事件的概率，同時考查了計算能力，屬于基礎題．