如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）證明：CM∥平面DFB
（2）求異面直線AM與DE所成的角的余弦值．
分析：（1）設正方形的對角線AC和BD相交于點O，由條件證明MF和CO平行且相等，四邊形COFM為平行四邊形，故CM∥OF，再由直線和平面平行的判定定理證得 CM∥平面DFB．
（2）建立空間直角坐標系，求得點C、點A、點E、，點D、點M的坐標，可得
AM
和
DE
 的坐標，以及|
AM
|、|
DE
|和
AM
•
DE
 的值．再利用兩個向量的夾角公式求得
AM
、
DE
的夾角θ 的余弦值，再取絕對值，即得所求．
解答：解：（1）設正方形的對角線AC和BD相交于點O，∵M為的中點，ACEF為矩形，故MF和CO平行且相等，
故四邊形COFM為平行四邊形，故CM∥OF，
而OF?平面DFB，CM不在平面DFB內(nèi)，∴CM∥平面DFB．
（2）以點C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，則點C（0，0），點A（
2
，
2
，0），點E（0，0，1），
點D（
2
，0，0），點M（
2
2
，
2
2
，1），
∴
AM
=（-
2
2
，-
2
2
，1），
DE
=（-
2
，0，1），|
AM
|=
2
，|
DE
|=
3
，
AM
•
DE
=1+0+1=2．
設
AM
、
DE
的夾角為θ，cosθ=
AM
•
DE
|AM
|•|
DE
|
=
2
2
•
3
=
6
3
，故異面直線AM與DE所成的角的余弦值為
6
3
．
點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，求異面直線所成的角的余弦值，兩個向量的夾角公式的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•廣州模擬）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角BD折起，得到三棱錐A-BCD．
（1）求證：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱錐A-BCD的體積為
6
3
，求AC的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•豐臺區(qū)二模）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，以A為圓心，AD長為半徑畫弧，交BA的延長線于P1，然后以B為圓心，BP1長為半徑畫弧，交CB的延長線于P2，再以C為圓心，CP2長為半徑畫弧，交DC的延長線于P3，再以D為圓心，DP3長為半徑畫弧，交AD的延長線于P4，再以A為圓心，AP4長為半徑畫弧，…，如此繼續(xù)下去，畫出的第8道弧的半徑是
8
8
，畫出第n道弧時，這n道弧的弧長之和為
n(n+1)π
4
n(n+1)π
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點.

求證：

（1）AM∥平面BDE；

（2）AM⊥平面BDF.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆黑龍江省哈爾濱市高二下期中考試文數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直, 是線段的中點。

（1）證明：∥平面

（2）求異面直線與所成的角的余弦值。

 

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