如圖所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直, 是線段的中點(diǎn)。

（1）證明：∥平面

（2）求異面直線與所成的角的余弦值。

 

【答案】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，證明CM與平面BDF的法向量垂直，即可證得結(jié)論；

（2）

【解析】

試題分析：（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則…（2分）

設(shè)平面DBF的一個(gè)法向量為，則，

∴

取，

得平面DBF的一個(gè)法向量為，…（6分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090213265497487325/SYS201309021327336755348391_DA.files/image009.png">，

所以，

又因?yàn)橹本�CM?平面DBF內(nèi)，所以CM∥平面BDF．…（6分）

（2）結(jié)合上一問(wèn)可知求異面直線與所成的角的余弦值，只要確定出向量AM和向量DE的坐標(biāo)即可，結(jié)合平面向量的夾角公式來(lái)得到為

考點(diǎn)：線面平行，異面直線的角

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，利用向量的數(shù)量積求解

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）證明：CM∥平面DFB
（2）求異面直線AM與DE所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•廣州模擬）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角BD折起，得到三棱錐A-BCD．
（1）求證：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱錐A-BCD的體積為
6
3
，求AC的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•豐臺(tái)區(qū)二模）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BA的延長(zhǎng)線于P1，然后以B為圓心，BP1長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CB的延長(zhǎng)線于P2，再以C為圓心，CP2長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交DC的延長(zhǎng)線于P3，再以D為圓心，DP3長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD的延長(zhǎng)線于P4，再以A為圓心，AP4長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，…，如此繼續(xù)下去，畫(huà)出的第8道弧的半徑是
8
8
，畫(huà)出第n道弧時(shí)，這n道弧的弧長(zhǎng)之和為
n(n+1)π
4
n(n+1)π
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn).

求證：

（1）AM∥平面BDE；

（2）AM⊥平面BDF.

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