【題目】設(shè)函數(shù),且(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)若,求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若,求證:

【答案】(Ⅰ)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),令,對(duì)求導(dǎo)分析出其單調(diào)性,從而分析出函數(shù)值的符號(hào),得到的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)對(duì)求導(dǎo)討論其單調(diào)性,分析其最小值,證明其最小值大于0即可.

(Ⅰ)由可得,,又,∴,,,

,

當(dāng)時(shí),單調(diào)增函數(shù),又.

∴當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,

的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,符合題意.

方法(一)當(dāng)時(shí),

,又,

唯一的零點(diǎn),設(shè)為,有

,單調(diào)遞減;,,單調(diào)遞增

,∴,兩邊取對(duì)數(shù),

(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)到等號(hào))

設(shè),∴,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;

,且,,趨向0時(shí),;

∴當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

由(1)可知,當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),,,∴

綜上,當(dāng)時(shí),

方法(二)

當(dāng)時(shí),(i)當(dāng)時(shí)

,,顯然成立;

ii)當(dāng)時(shí),構(gòu)造函數(shù)

,為減函數(shù),∴,∴

,∴

又由,可得,進(jìn)而

綜上:當(dāng)時(shí),

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓),右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上;

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)是否存在過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于AB兩點(diǎn),且?若存在,請(qǐng)求出所有符合要求的直線;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)求證:函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增;

2)記為函數(shù)的反函數(shù).若關(guān)于的方程上有解,求的取值范圍;

3)若對(duì)于恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知,,是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,其公差大于零.若線段,,,的長(zhǎng)分別為,,則( .

A.對(duì)任意的,均存在以,為三邊的三角形

B.對(duì)任意的,均不存在以,為三邊的三角形

C.對(duì)任意的,均存在以,,為三邊的三角形

D.對(duì)任意的,均不存在以,為三邊的三角形

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】記點(diǎn)到圖形上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)到圖形的距離,那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是

A.B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).證明:

1存在唯一的極值點(diǎn);

2有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為相反數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)于數(shù)列,稱(其中)為數(shù)列的前k項(xiàng)“波動(dòng)均值”.若對(duì)任意的,都有,則稱數(shù)列為“趨穩(wěn)數(shù)列”.

1)若數(shù)列1,2為“趨穩(wěn)數(shù)列”,求的取值范圍;

2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比,求證:是“趨穩(wěn)數(shù)列”;

3)已知數(shù)列的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為整數(shù),前項(xiàng)的和為. 且對(duì)任意,都有, 試計(jì)算:).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng),治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場(chǎng)上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)和銷量(萬(wàn)盒)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)

2

3

6

10

13

15

18

21

銷量(萬(wàn)盒)

1

1

2

2.5

3.5

3.5

4.5

6

(1)求的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時(shí),可用線性回歸方程模型擬合);

(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè),當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后,才能進(jìn)行第二次檢測(cè).第一次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,,第二次檢測(cè)時(shí),三類劑型,,合格的概率分別為,.兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立,設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.

附:(1)相關(guān)系數(shù)

2,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A,B,且為等邊三角形.

1)求橢圓C的方程;

2)如圖,點(diǎn)M在橢圓C上且位于第一象限內(nèi),它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為N;過(guò)點(diǎn)Mx軸的垂線,垂足為H,直線與橢圓C交于另一點(diǎn)J,若,試求以線段為直徑的圓的方程;

3)已知是過(guò)點(diǎn)A的兩條互相垂直的直線,直線與圓相交于P,Q兩點(diǎn),直線與橢圓C交于另一點(diǎn)R,求面積最大值時(shí),直線的方程.

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