Question

【題目】如圖數(shù)表：

每一行都是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，第行的公差為，且每一列也是等差數(shù)列，設(shè)第行的第項(xiàng)為.

（1）證明：成等差數(shù)列，并用表示（）；

（2）當(dāng)時(shí)，將數(shù)列分組如下：（），（），（），…（每組數(shù)的個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列）. 設(shè)前組中所有數(shù)之和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）在（2）的條件下，設(shè)是不超過(guò)20的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，求使得不等式恒成立的所有的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析，（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)前三行成等差數(shù)列得，根據(jù)最后一列成等差數(shù)列可得，把在第行和第列分別表示出來(lái)，可得出關(guān)于的表達(dá)式；

（2）根據(jù)分組的特點(diǎn)結(jié)合等差數(shù)列前和公式計(jì)算，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算；

（3）把代入不等式，得，引入函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性可求得使不等式成立的的最小值即可得的取值．

解：(1) 由題意，，且，

得，即

所以成等差數(shù)列

由且

即

化簡(jiǎn)得

(2) 當(dāng)時(shí)，

按數(shù)列分組規(guī)律，第組中有個(gè)奇數(shù)，

所以第1組到第組共有個(gè)奇數(shù).

則前個(gè)奇數(shù)的和為，

即，

從而 ，

，①則

，②

①-②得，

∴．

(3) 由得.

令，

當(dāng)時(shí)，都有，即，

而，

且當(dāng)時(shí)，

，即單調(diào)遞增，故有.

所以，滿足條件的所有正整數(shù).