Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B，且，為等邊三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，點(diǎn)M在橢圓C上且位于第一象限內(nèi)，它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N；過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)，垂足為H，直線(xiàn)與橢圓C交于另一點(diǎn)J，若，試求以線(xiàn)段為直徑的圓的方程；

（3）已知是過(guò)點(diǎn)A的兩條互相垂直的直線(xiàn)，直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓C交于另一點(diǎn)R；求面積取最大值時(shí)，直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）.（也可寫(xiě)成.）

【解析】

（1）由橢圓左焦點(diǎn)為F，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B，且，為等邊三角形，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程.

（2）設(shè)，則由條件，知，，且，.推導(dǎo)出，進(jìn)而求得直線(xiàn)NH的方程：.由求得.再求出線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出以線(xiàn)段為直徑的圓的方程.

（3）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，.當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、弦長(zhǎng)公式、直線(xiàn)垂直、三角形面積公式，結(jié)合已知條件能求出結(jié)果.

（1）∵橢圓的左焦點(diǎn)為F，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B

且，為等邊三角形.

p>∴由題意，得：，解得，∴橢圓C的方程為.

（2）設(shè)，則由條件，知，，且，.

從而.

于是由及，得.

再由點(diǎn)M在橢圓C上，得，求得.

所以，

進(jìn)而求得直線(xiàn)NH的方程：.

由求得.

進(jìn)，

線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

∴以線(xiàn)段為直徑的圓的方程為：.

（3）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與橢圓C相切于點(diǎn)A，不合題意，

當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，由題意得.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，

則點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為，從而由幾何意義，得，

由于，故直線(xiàn)的方程為，由題意得它與橢圓C的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為，

于是.

故，

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取等號(hào).

∵，故當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)直線(xiàn)的方程為：.（也可寫(xiě)成.）