Question

已知實數(shù)，且按某種順序排列成等差數(shù)列．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若等差數(shù)列的首項和公差都為，等比數(shù)列的首項和公比都為，數(shù)列和的前項和分別為，且，求滿足條件的自然數(shù)的最大值．

Answer 1

（1）；（2）14

解析試題分析：（1）由按某種順序排列成等差數(shù)列，通過分類判斷值的大小得到兩類，再根據(jù)等差數(shù)列中項的性質(zhì)，即可得到結(jié)論.
（2）由于等差數(shù)列的首項和公差都為，等比數(shù)列的首項和公比都為，所以分別求出數(shù)列，的通項公式.根據(jù)通項公式分別求出兩個數(shù)列的前n項和的公式.再由求出結(jié)論.
（3）解法一：由已知三個數(shù)有：，     1分
不妨設(shè)排列成遞增的等差數(shù)列，則
①依次成等差數(shù)列，則有解得，符合題意；   3分
②若依次成等差數(shù)列，則有解得，由不符合題意；   5分
綜上得.   6分
解法二：分三種情況討論：
①若為等差中項，則有解得，符合題意；   2分
②若為等差中項，則有解得，由不符合題意；   4分
③若為等差中項，則有，即，方程無解；  6分
綜上得．
（2）解：由（1）知，，   8分
 ，    10分
由已知可得，即,   11分
即，又，故的最大值為14．   12分
考點：1.等差等比數(shù)列的通項公式.2.求和公式.3.不等式的交匯.