已知兩個不共線的向量
a
,
b
,它們的夾角為θ,且|
a
|=3
,|
b
|=1
,x為正實數(shù).
(1)若
a
+2
b
a
-4
b
垂直,求tanθ;
(2)若θ=
π
6
,求|x
a
-
b
|
的最小值及對應的x的值,并判斷此時向量
a
x
a
-
b
是否垂直?
分析:(1)利用數(shù)量積運算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得出;
(2)利用數(shù)量積的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:解:(1)∵
a
+2
b
a
-4
b
垂直,∴(
a
+2
b
)•(
a
-4
b
)
=0,
a
2
-2
a
b
-8
b
2
=0,
∴32-2×3×1×cosθ-8×12=0,∴cosθ=
1
6

又θ∈(0,π),
sinθ=
1-cos2θ
=
35
6
,
tanθ=
sinθ
cosθ
=
35

(2)|x
a
-
b
|=
(x
a
-
b
)
2
=
x2
a
2
-2x
a
b
+
b
2
=
9(x-
3
6
)
2
+
1
4

故當x=
3
6
時,|x
a
-
b
|
取得最小值為
1
2

此時
a
•(x
a
-
b
)=x
a
2
-
a
b
=
3
6
×9-3×1×cos
π
6
=0
,
故向量
a
x
a
-
b
垂直.
點評:熟練掌握數(shù)量積運算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、數(shù)量積的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知兩個不共線的向量a,b滿足a+2xb=xa+yb,那么實數(shù)x,y的值分別是( 。
A、0,0B、1,2C、0,1D、2,1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知兩個不共線的向量
a
,
b
滿足
a
=(1,
3
),
b
=(cosθ,sinθ)(θ∈R)

(1)若2
a
-
b
a
-7
b
垂直,求向量
a
b
的夾角;
(2)當θ∈[0,
π
2
]
時,若存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|
成立,求正數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知兩個不共線的向量
a
b
,它們的夾角為θ,且|
a
|=3
|
b
|=1
,若
a
+
b
a
-4
b
垂直,則sin(θ+
π
6
)
=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知兩個不共線的向量
a
,
b
的夾角為θ,且|
a
|=3,|
b
|=1,x為正實數(shù).
(1)若
a
+2
b
a
-4
b
垂直,求tanθ;
(2)若θ=
π
6
,求|x
a
-
b
|的最小值及對應的x的值,并指出此時向量
a
與x
a
-
b
的位置關(guān)系;
(3)若θ為銳角,對于正實數(shù)m,關(guān)于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有兩個不同的正實數(shù)解,且x≠m,求m的取值范圍.

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