已知兩個(gè)不共線的向量
a
，
b
滿足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，求向量
a
與
b
的夾角；
（2）當(dāng)θ∈[0，
π
2
]時(shí)，若存在兩個(gè)不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）利用條件2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，建立方程關(guān)系，先求
a
•
b
，然后求向量夾角．
（2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于θ的方程，結(jié)合三角函數(shù)的圖象進(jìn)行化簡(jiǎn)求范圍．
解答：解：（1）∵2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，∴（2
a
-
b
）•（
a
-7
b
）=0，
即2
a
2+7
b
2-15
a
?
b
=0
∵
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|
a
|=2，|
b
|=1，
即2×22+7-15
a
?
b
=0，
解得
a
?
b
=1，
∴設(shè)向量
a
與
b
的夾角為θ，則cos?θ=
a
?
b
|
a
|?|
b
|
=
1
2×1
=
1
2
，
∴θ=
π
3
．
（2）∵
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|
a
|=2，|
b
|=1，
a
?
b
=cos?θ+
3
sin?θ=2sin?(θ+
π
6
)，
由|
a
+
3
b
|=|m
a
|，得
a
2+2
3
a
?
b
+3
b
2=m2
a
2，
即4m2=7+4
3
sin?(θ+
π
6
)，
∵θ∈[0，
π
2
]，
∴
π
6
≤θ+
π
6
≤
2π
3
，
則要存在兩個(gè)不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，
則
π
3
≤θ+
π
6
≤
2π
3
且θ+
π
6
≠
π
2

此時(shí)
3
2
≤sin?(θ+
π
6
)＜1，
∴13≤7+4
3
sin?(θ+
π
6
)＜7+4
3
，
即13≤4m2＜7+4
3
，
∴
13
4
≤m2＜
7+4
3
4
=(
2+
3
2
)2，
∵m＞0，
∴
13
2
≤m＜
2+
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的數(shù)量積以及利用向量和三角函數(shù)之間的關(guān)系的化簡(jiǎn)和求值，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩個(gè)不共線的向量a，b滿足a+2xb=xa+yb，那么實(shí)數(shù)x，y的值分別是（　�。�
A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩個(gè)不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實(shí)數(shù)．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，并判斷此時(shí)向量
a
與x
a
-
b
是否垂直？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩個(gè)不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，若
a
+
b
與
a
-4
b
垂直，則sin(θ+
π
6
)=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩個(gè)不共線的向量
a
，
b
的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實(shí)數(shù)．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，并指出此時(shí)向量
a
與x
a
-
b
的位置關(guān)系；
（3）若θ為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且x≠m，求m的取值范圍．

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