已知橢圓C與橢圓C1：
x2
9
+
y2
5
=1有相同的焦點，且橢圓過點(2
3
，
3
)，右焦點為F，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=
1
2
x與橢圓C交于M、N兩點，求△FMN的面積．
分析：（1）依題意，可求橢圓C的焦點坐標（±2，0），方程為
x2
a2
+
y2
a2-4
=1，將點（2
3
，
3
）的坐標代入橢圓C的方程可求得a2，從而可得答案；
（2）由橢圓C的方程與直線y=
1
2
x聯(lián)立，利用弦長公式可求得|MN|，由點到直線間的距離公式可求得點F到直線y=
1
2
x的距離d，從而可求△FMN的面積．
解答：解：（1）∵橢圓C1：
x2
9
+
y2
5
=1的焦點坐標為（±2，0），
∴依題意設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
a2-4
=1，將點（2
3
，
3
）的坐標代入橢圓C的方程，
得
(2
3
)2
a2
+
(
3
)2
a2-4
=1，解得a2=16或a2=3（舍），
∴橢圓C的方程為：
x2
16
+
y2
12
=1．
（2）由
x2
16
+
y2
12
=1
y=
1
2
x
消去y得：x2=12，
∴x=±2
3
，y=±
3
．
不妨取M（2
3
，
3
），N（-2
3
，-
3
），
∴|MN|=
[
3
-(-
3
)]2+[2
3
-(-2
3
)]2
=
12+48
=
60
=2
15
．
又右焦點F（2，0）到直線y=
1
2
x即x-2y=0的距離d=
2
5
=
2
5
5
，
∴S△FMN=
1
2
|MN|•d=
1
2
×2
15
×
2
5
5
=2
3
．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，著重考查方程思想與韋達定理與弦長公式、三角形面積公式的綜合應用，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：x-y+
5
=0與橢圓C1相切．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直與橢圓的長軸，動直線l2垂直于直線l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（3）若A（x1，2），B（x2，y2），C（x0，y0）是C2上不同的點，且AB⊥BC，求實數(shù)y0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1與雙曲線C2有共同的焦點F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），橢圓的一個短軸端點為B，直線F1B與雙曲線的一條漸近線平行，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，則e1+e2取值范圍為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C與橢圓C1：
x2
9
+
y2
5
=1有相同的焦點，且橢圓過點(2
3
，
3
)，右焦點為F，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=
1
2
x與橢圓C交于M、N兩點，求△FMN的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年北京五中高二（上）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C與橢圓C1：有相同的焦點，且橢圓過點，右焦點為F，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線與橢圓C交于M、N兩點，求△FMN的面積．

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