Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，直線(xiàn)l：x-y+

5

=0與橢圓C₁相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)F₁且垂直與橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線(xiàn)l₂垂直于直線(xiàn)l₁于點(diǎn)P，線(xiàn)段PF₂的垂直平分線(xiàn)交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）若A（x₁，2），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）是C₂上不同的點(diǎn)，且AB⊥BC，求實(shí)數(shù)y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閑=

c

a

，橢圓 C₁的方程可設(shè)為

x2

3c2

+ 

y2

2c2

=1，與直線(xiàn)方程 x-y+

5

=0 聯(lián)立，由判別式等于0解出c值，即得橢圓 C₁的方程．
（2）由題意可知，點(diǎn)M的軌跡C₂ 是以直線(xiàn) l₁ 為準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)F₂為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，由直線(xiàn)l₁的方程為X=-1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），可得點(diǎn)M的軌跡C₂ 的方程為 y²=4x．
（3）由題意可知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），由

AB

•

BC

=0，可得（x₂-1，y₂-1）•（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，方程 y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0 有不為2的解，故 y₀²-4y₀-60≥0，且y₀≠-6，從而解得 y₀ 的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)閑=

c

a

=

3

3

，所以，a=

3

 c，b=

2

 c，橢圓 C₁的方程可設(shè)為

x2

3c2

+ 

y2

2c2

=1，
與直線(xiàn)方程 x-y+

5

=0 聯(lián)立，消去y，可得 5x²+6

5

x+15-6c²=0，
因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓相切，所以，△=(6

5

)2-4×5(15-6c2)=0，
又因?yàn)閏＞0，所以 c=1，所以，橢圓 C₁的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由題意可知，PM=MF₂，又PM為點(diǎn)M到直線(xiàn)l₁ 的距離，
所以，點(diǎn)M到直線(xiàn)l₁的距離與到點(diǎn) F₂的距離相等，
即點(diǎn)M的軌跡C₂ 是以直線(xiàn) l₁ 為準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)F₂為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，
因?yàn)橹本�(xiàn)l₁的方程為X=-1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），所以，點(diǎn)M的軌跡C₂ 的方程為 y²=4x．
（3）由題意可知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）． 因?yàn)锳B⊥BC，所以，

AB

•

BC

=0，
即 （x₂-1，y₂-1）•（x₀-x₂，y₀-y₂ ）=0，又因?yàn)?nbsp; x2=

1

4

y22，x0=

1

4

y02，
所以，

1

16

 （y₂²-4 ）（y₀²-y₂² ）+（y₂-2 ）（y₀-y₂ ）=0，
因?yàn)?y₂≠2，y₂≠y₀，所以，

1

16

(y2+2)(y0+y2)+1=0，
整理可得：y₂²+（2+y₀ ）y₂+（2y₀+16）=0，關(guān)于 y₂ 的方程有不為2的解，所以
△=（2+y₀）²-4（2y₀+16）≥0，且 y₀≠-6，
所以，y₀²-4y₀-60≥0，且y₀≠-6，解得 y₀ 的取值范圍為 y₀＜-6，或 y₀≥10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，式子的化簡(jiǎn)變形是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．