已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．
分析：由雙曲線方程確定一條漸近線為y=2x，可得AB為圓直徑且AB=2a，因橢圓與雙曲線有公共焦點，得a2-b2=5．設C1與y=2x在第一象限的交點為A（m，2m），代入C1解出m2=
a2b2
b2+4a2
．再由對稱性知直線y=2x被C1截得的弦長，根據(jù)C1恰好將線段AB三等分解出m=
a
3
5
，聯(lián)解可得a2，b2的值，得到答案．
解答：解：由題意，C2的焦點為（±
5
，0），一條漸近線方程為y=2x，
根據(jù)對稱性可知以C1的長軸為直徑的圓交y=2x于A、B兩點，滿足AB為圓的直徑且AB=2a
∵橢圓C1與雙曲線C2有公共的焦點，
∴C1的半焦距c=
5
，可得a2-b2=5，…①
設C1與y=2x在第一象限的交點的坐標為A（m，2m），
代入C1的方程，解得m2=
a2b2
b2+4a2
，…②
由對稱性可得直線y=2x被C1截得的弦長AB=2
5
m，
結合題意得2
5
m=
2a
3
，所以m=
a
3
5
，…③
由②③聯(lián)解，得a2=11b2…④
再聯(lián)解①④，可得得a2=5.5，b2=0.5  
故答案為：0.5
點評：本題給出雙曲線與橢圓共焦點，在雙曲線的漸近線與橢圓長軸為直徑的圓相交所得的弦AB被橢圓三等分時，求橢圓的b2之值．著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質與直線與圓等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓C1上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當直線BD過點（0，
1
7
）時，求直線AC的方程；
②當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準線方程是x=
25
4
，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內取雙曲線C2上一點P，連接AP交橢圓C1于點M，連接PB并延長交橢圓C1于點N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，離心率e=
1
2

（1）設拋物線C2：y2=4x的準線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點，問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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