已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)過點(
3
，
2
2
)，它的離心率為
6
2
，P、Q分別在雙曲線的兩條漸近線上，M是線段PQ中點，|PQ|=2
2
．
（Ⅰ）求雙曲線及其漸近線方程；
（Ⅱ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點F1的直線l與C相交于點A、B，F(xiàn)2為C的右焦點，求△ABF2面積最大時
F2A
•
F2B
的值．
（Ⅰ）∵雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)過點(
3
，
2
2
)，它的離心率為
6
2
，
∴
3
a2
-
1
2b2
=1，且
a2+b2
a2
=(
6
2
)2，
解得a2=2，b2=1，
∴雙曲線方程是
x2
2
-y2=1，
它的漸近線方程是y=
1
2
x，y=-
1
2
x．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，不妨設(shè)P(x1，
x1
2
)，Q(x2，-
x2
2
)，
設(shè)M（x，y），則有x1+x2=2x，
x1
2
-
x2
2
=2y．
∵|PQ|=2
2
，∴(x1-x2)2+(
x1
2
+
x2
2
)2=8，
∴(2
2
y)2+(
2x
2
)2=8，
化簡得軌跡C的方程為
x2
4
+y2=1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，
根據(jù)題意直線l與x軸不能重合，
∴設(shè)l的方程為x=ky-
3
，設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4）．
把x=ky-
3
代入
x2
4
+y2=1，
化簡并整理得(k2+4)y2-2
3
ky-1=0，
∴y3+y4=
2
3
k
k2+4
，y3y4=-
1
k2+4
，
∴|y3-y4|=
(y3+y4)2-4y3y4
=
(
2
3
k
k2+4
)2+
4
k2+4

=4
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6
，
∴△ABF2面積S=
1
2
|F1F2|•|y3-y4|=4
3
•
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6

≤4
3
•
1
2
(k2+1)•
9
k2+1
+6
=2，
當(dāng)且僅當(dāng)k2+1=
9
k2+1
時，即等號成立．
∴當(dāng)k=
2
時，y3+y4=
6
3
，y3y4=-
1
6
，
∴x3+x4=k(y3+y4)-2
3
=-
4
3
3
，x3x4=(ky3-
3
)(ky4-
3
)=k2y3y4-
3
k(y3+y4)+3=
2
3
，
∴
F2A
•
F2B
=(x3-
3
，y3)•(x4-
      練習(xí)冊系列答案
      相關(guān)習(xí)題

      科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

      已知橢圓C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0），經(jīng)過點（3，-2）與向量（-1，1）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點，交x軸于M點，又
      AM
      =2
      MB
      ．
      （Ⅰ）求橢圓C長軸長的取值范圍；
      （Ⅱ）若|
      AB
      |=
      3
      		2
      2
      ，求橢圓C的方程．

      查看答案和解析>>

      科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

      已知橢圓C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)      的焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且經(jīng)過點P(1，
      3
      2
      )      ．
      （Ⅰ）求橢圓C的方程；
      （Ⅱ）設(shè)過F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點，問在橢圓C上是否存在一點M，使四邊形AMBF2為平行四邊形，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

      查看答案和解析>>

      科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

      已知拋物線C：y=-x2+2x，在點A（0，0），B（2，0）分別作拋物線的切線L1、L2．
      （1）求切線L1和L2的方程；
      （2）求拋物線C與切線L1和L2所圍成的面積S．

      查看答案和解析>>

      科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

      已知圓的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓的兩條切線，切點分別為A1、A2，直線A1A2恰好經(jīng)過橢圓
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)      的右頂點和上頂點．
      （Ⅰ）求橢圓的方程；
      （Ⅱ）設(shè)直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點，P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點Q、R，求證
      OQ
      •
      OR
      為定值．

      查看答案和解析>>

      科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

      拋物線y2=2px（p＞0）上縱坐標(biāo)為-p的點M到焦點的距離為2．
      （Ⅰ）求p的值；
      （Ⅱ）如圖，A，B，C為拋物線上三點，且線段MA，MB，MC與x軸交點的橫坐標(biāo)依次組成公差為1的等差數(shù)列，若△AMB的面積是△BMC面積的
      1
      2
      ，求直線MB的方程．

      查看答案和解析>>

      科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

      已知橢圓C的中心在原點，焦點y在軸上，焦距為2
      		3
      ，且過點M(-
      		13
      4
      ，
      		3
      2
      )      ．
      （1）求橢圓C的方程；
      （2）若過點N(
      1
      2
      ，1)      的直線l交橢圓C于A、B兩點，且N恰好為AB中點，能否在橢圓C上找到點D，使△ABD的面積最大？若能，求出點D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

      查看答案和解析>>

      科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

      如圖，
      ADB
      為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變．
      （Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
      （Ⅱ）過點B的直線l與曲線C交于M、N兩點，與OD所在直線交于E點，若
      EM
      =λ1
      MB
      ，
      EN
      =λ2
      NB
      ，求證：λ1+λ2      為定值．

      查看答案和解析>>

      科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

      設(shè)集合A={（x，y）|y=2x-1，x∈N*}，B={（x，y）|y=ax2-ax+a，x∈N*}，問是否存在非零整數(shù)a，使A∩B≠∅？若存在，請求出a的值；若不存在，說明理由．

      查看答案和解析>>

      同步練習(xí)冊答案