Question

（2009•普陀區(qū)二模）某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿（MN和AB、DC不重合）．
（1）當MN和AB之間的距離為1米時，求此時三角通風窗EMN的通風面積；
（2）設MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風窗EMN的通風面積S（平方米）表示成關于x的函數S=f（x）；
（3）當MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風窗EMN的通風面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

分析：（1）當MN和AB之間的距離為1米時，MN應位于DC上方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米，從而可求MN的長，由三角形面積公式求面積
（2）當MN在矩形區(qū)域內滑動，即x∈(0，

1

2

)時，由三角形面積公式建立面積模型．當MN在半圓形區(qū)域內滑動，即x∈(

1

2

，

3

2

)時，由三角形面積公式建立面積模型．
（3）根據分段函數，分別求得每段上的最大值，最后取它們當中最大的，即為原函數的最大值，并明確取值的狀態(tài)，從而得到實際問題的建設方案．

解答：解：（1）由題意，當MN和AB之間的距離為1米時，MN應位于DC上方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米，又因為EM=EN=1米，所以MN=

3

米，所以S△EMN=

3

4

平方米，即三角通風窗EMN的通風面積為

3

4

平方米
（2）當MN在矩形區(qū)域內滑動，即x∈(0，

1

2

)時，△EMN的面積S=

1

2

×MN×(

1

2

-x)=

1

2

-x；
當MN在半圓形區(qū)域內滑動，即x∈(

1

2

，

3

2

)時，△EMN的面積S=(x-

1

2

)•

1-(x- 1 2 )2

綜上可得S=f(x)=

-x+ 1 2 ，x∈(0 1 2 ) (x- 1 2 )• 1-(x- 1 2 )2 ，x∈( 1 2 3 2 )

；
（3）當MN在矩形區(qū)域內滑動時，f（x）在區(qū)間(0，

1

2

)上單調遞減，則f（x）＜f（0）=

1

2

；
當MN在半圓形區(qū)域內滑動，f(x)=(x-

1

2

)•

1-(x- 1 2 )2

≤

(x- 1 2 )2+[1-(x- 1 2 )2]

2

=

1

2

等號成立時，x=

1

2

(

2

+1)
因此當x=

1

2

(

2

+1)（米）時，每個三角形得到最大通風面積為

1

2

平方米．

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，主要涉及了三角形面積公式，分段函數求最值以及基本不等式法等解題方法．