Question

（2009•普陀區(qū)二模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a3=

1

4

．對(duì)任意n∈N^*，向量

a

=(1，an)，

b

=(an+1，

1

2

)滿足

a

⊥

b

，求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：由

a

⊥

b

，能推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為-

1

2

．由a3=a1(-

1

2

)2=

1

4

，知a₁=1，所以

lim

n→∞

Sn=

a1

1-q

=

2

3

．

解答：解：由

a

⊥

b

，
得an+1+

1

2

an=0，
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為-

1

2

又a3=a1(-

1

2

)2=

1

4

，
得a₁=1，
所以

lim

n→∞

Sn=

a1

1-q

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等比數(shù)列運(yùn)算公式的靈活運(yùn)用．