Question

如圖，某城市設(shè)立以城中心O為圓心、r公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū)，從保護(hù)區(qū)邊緣起，在城中心O正東方向上有一條高速公路PB、西南方向上有一條一級(jí)公路QC，現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點(diǎn)A作為出口，建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC．已知通往一級(jí)公路的道路AC每公里造價(jià)為a萬元，通往高速公路的道路AB每公里造價(jià)是m²a萬元，其中a，r，m為常數(shù)，設(shè)∠POA=θ，總造價(jià)為y萬元．
（1）把y表示成θ的函數(shù)y=f（θ），并求出定義域；
（2）當(dāng)m=

6 + 2

2

時(shí)，如何確定A點(diǎn)的位置才能使得總造價(jià)最低？

Answer 1

分析：（1）由題意可得AB=rtanθ，AC=rtan(

3π

4

-θ)，可得y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]，由正切函數(shù)的定義域可得可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?span id="xpxhsl7" class="MathJye">(

π

4

，

π

2

)；
（2）由（1）可得y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]，可化為y=ar[m2(tanθ-1)+

2

1-tanθ

+m2+1]，由基本不等式可得m2(tanθ-1)+

2

1-tanθ

≥2

2

m，由取等號(hào)的條件可得答案．

解答：解：（1）∵BC與圓O相切于A，∴OA⊥BC，在△OAB中，AB=rtanθ，…（2分）
同理，可得AC=rtan(

3π

4

-θ)…（4分）
∴y=m2aAB+aAC=m2artanθ+artan(

3π

4

-θ)，
∴y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]，…（6分）
可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?span id="eoweoev" class="MathJye">(

π

4

，

π

2

)…（8分）
（2）由（1）可得y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]
=ar[m2tanθ+

-1-tanθ

1-tanθ

]
=ar[m2(tanθ-1)+

2

tanθ-1

+m2+1]
∵θ∈(

π

4

，

π

2

)，∴tanθ-1＞0，
∴m2(tanθ-1)+

2

tanθ-1

≥2

2

m，
當(dāng)且僅當(dāng)m2(tanθ-1)=

2

tanθ-1

，即tanθ=

2

m

-1時(shí)取等號(hào)，
又m=

6 + 2

2

，所以tanθ=

3

，∴θ=60°
故當(dāng)θ取60°，即A點(diǎn)在O東偏南60°的方向上，總造價(jià)最低．     …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．