Question

如圖，某城市設(shè)立以城中心O為圓心、r公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū)，從保護(hù)區(qū)邊緣起，在城中心O正東方向上有一條高速公路PB、西南方向上有一條一級(jí)公路QC，現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點(diǎn)A作為出口，建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC．已知通往一級(jí)公路的道路AC每公里造價(jià)為a萬元，通往高速公路的道路AB每公里造價(jià)是m²a萬元，其中a，r，m為常數(shù)，設(shè)∠POA=θ，總造價(jià)為y萬元．
（1）把y表示成θ的函數(shù)y=f（θ），并求出定義域；
（2）當(dāng)時(shí)，如何確定A點(diǎn)的位置才能使得總造價(jià)最低？

Answer 1

解：（1）∵BC與圓O相切于A，∴OA⊥BC，在△OAB中，AB=rtanθ，…（2分）
同理，可得…（4分）
∴，
∴，…（6分）
可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/359.png' />…（8分）
（2）由（1）可得
=
=
∵，∴tanθ-1＞0，
∴≥2m，
當(dāng)且僅當(dāng)，即tanθ=時(shí)取等號(hào)，
又，所以tanθ=，∴θ=60°
故當(dāng)θ取60°，即A點(diǎn)在O東偏南60°的方向上，總造價(jià)最低． …（16分）
分析：（1）由題意可得AB=rtanθ，，可得，由正切函數(shù)的定義域可得可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/359.png' />；
（2）由（1）可得，可化為y=，由基本不等式可得≥2m，由取等號(hào)的條件可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．