【題目】已知函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:當(dāng)時(shí),;
(3)求證:.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.
【解析】分析:
詳解:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定的范圍即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出是函數(shù)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),從而證明結(jié)論.
(3)證明:由題意得是兩根,∴①,②,
可得,要證明,只需證,即
令,所以只需證在成立即可,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì),可證成立.
設(shè),
所以在是增函數(shù),∴
即成立.
(1),定義域?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),,∴在遞增,不可能有兩個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),時(shí),,時(shí),
所以是函數(shù)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)
又因?yàn)?/span>時(shí),,時(shí),,
要使有兩個(gè)零點(diǎn),只需,
∴
(2)在是減函數(shù),∵,
∴存在唯一的,使,即,所以,
即
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)
∴
在上,∵,∴
∴,即成立
(3)證明:由題意得是兩根,∴①,②,
①②得,,得,
要證明,只需證,即證
所以只需證,即
令,所以只需證在成立即可
設(shè),
所以在是增函數(shù),∴
即成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)為何值時(shí),.①有且僅有一個(gè)零點(diǎn);②有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1大;
(2)若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,若在,,,四個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)在上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)與點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn),且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PCD,PD⊥CD,底面ABCD是梯形,AB∥DC,AB=AD=PD=1,CD=2AB, 為棱PC上一點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)是PC的中點(diǎn),證明:B∥平面PAD;
(Ⅱ) 試確定的值使得二面角-BD-P為60°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】手機(jī)廠商推出一款6寸大屏手機(jī),現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)使用者(200名女性,300名男性)進(jìn)行調(diào)查,對(duì)手機(jī)進(jìn)行評(píng)分,評(píng)分的頻數(shù)分布表如下:
女性用戶(hù) | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用戶(hù) | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(1)完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶(hù)和男性用戶(hù)評(píng)分的波動(dòng)大。ú挥(jì)算具體值,給出結(jié)論即可);
(2)把評(píng)分不低于70分的用戶(hù)稱(chēng)為“評(píng)分良好用戶(hù)”,能否有的把握認(rèn)為“評(píng)分良好用戶(hù)”與性別有關(guān)?
參考附表:
參考公式,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.2019年7月6日,第43屆世界遺產(chǎn)大會(huì)宣布,中國(guó)良渚古城遺址成功申遺,獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄.目前中國(guó)世界遺產(chǎn)總數(shù)已達(dá)55處,位居世界第一.今年暑期,某中學(xué)的“考古學(xué)”興趣小組對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè),檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的54%.利用參考數(shù)據(jù):,請(qǐng)你推斷上述所提取的草莖遺存物距今大約有_______________________年(精確到1年).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為BC,AC的中點(diǎn),AB=BC.
求證:(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新一屆中央領(lǐng)導(dǎo)集體非常重視勤儉節(jié)約,從“光盤(pán)行動(dòng)”到“節(jié)約辦春晚”.到飯店吃飯是吃光盤(pán)子或時(shí)打包帶走,稱(chēng)為“光盤(pán)族”,否則稱(chēng)為“非光盤(pán)族”.政治課上政治老師選派幾位同學(xué)組成研究性小組,從某社區(qū)[25,55]歲的人群中隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次調(diào)查,得到如下統(tǒng)計(jì)表:
組數(shù) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 | 光盤(pán)族占本組比例 |
第1組 | [25,30) | 50 | 0.05 | 30% |
第2組 | [30,35) | 100 | 0.10 | 30% |
第3組 | [35,40) | 150 | 0.15 | 40% |
第4組 | [40,45) | 200 | 0.20 | 50% |
第5組 | [45,50) | a | b | 65% |
第6組 | 200 | 0.20 | 60% |
(1)求的值,并估計(jì)本社區(qū)[25,55)歲的人群中“光盤(pán)族”所占比例;
(2)從年齡段在[35,45)的“光盤(pán)族”中采用分層抽樣方法抽取8人參加節(jié)約糧食宣傳活動(dòng),并從這8人中選取2人作為領(lǐng)隊(duì).求選取的2名領(lǐng)隊(duì)分別來(lái)自[35,40)與[40,45)兩個(gè)年齡段的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),記的導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足.若使不等式 成立,則實(shí)數(shù)的最小值為( )
A. B. C. D.
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