Question

（2013•揭陽二模）設(shè)函數(shù)fn(x)=xn(1-x)2在[

1

2

，1]上的最大值為a_n（n=1，2，…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)任意n∈N^*（n≥2），都有an≤

1

(n+2)2

成立．

Answer 1

分析：（1）解法一：通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值即可求a₁，a₂的值；
解法二：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最值，推出a₁，a₂的值．
（2）利用（1）解法求出n≥3時(shí)函數(shù)的最大值，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用分析法以及二項(xiàng)式定理直接證明：對(duì)任意n∈N^*（n≥2），都有an≤

1

(n+2)2

成立．

解答：解：（1）解法1：∵fn′(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)=xn-1(1-x)[n(1-x)-2x]-------（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，f₁'（x）=（1-x）（1-3x）
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，f₁'（x）≤0，即函數(shù)f₁（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，
∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，--------------------------------------------------（3分）
當(dāng)n=2時(shí)，f₂'（x）=2x（1-x）（1-2x）
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，f₂'（x）≤0，即函數(shù)f₂（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，
∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

---------------------------------------------------（5分）
【解法2：當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)=x(1-x)2，則f1′(x)=(1-x)2-2x(1-x)=(1-x)(1-3x)
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，f₁'（x）≤0，即函數(shù)f₁（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，
當(dāng)n=2時(shí)，f2(x)=x2(1-x)2，則f2′(x)=2x(1-x)2-2x2(1-x)=2x（1-x）（1-2x）
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，f₂'（x）≤0，即函數(shù)f₂（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

】
（2）令f_n'（x）=0得x=1或x=

n

n+2

，
∵當(dāng)n≥3時(shí)，

n

n+2

∈[

1

2

，1]且當(dāng)x∈[

1

2

，

n

n+2

)時(shí)f_n'（x）＞0，
當(dāng)x∈(

n

n+2

，1]時(shí)f_n'（x）＜0，-----------------（7分）
故f_n（x）在x=

n

n+2

處取得最大值，
即當(dāng)n≥3時(shí)，an=fn(

n

n+2

)=(

n

n+2

)n(

2

n+2

)2=

4nn

(n+2)n+2

，-------（9分）
當(dāng)n=2時(shí)（*）仍然成立，
綜上得an=

1 8 ，n=1 4nn (n+2)n+2 ．，n≥2

-------------------------------------（10分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，要證

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，只需證明(1+

2

n

)n≥4，-------------------（11分）
∵(1+

2

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

2

n

)+…+

C

n n

(

2

n

)n≥1+2+

n(n-1)

2

•

4

n2

≥1+2+1=4
∴對(duì)任意n∈N^*（n≥2），都有an≤

1

(n+2)2

成立．-----------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．