Question

（2011•寶坻區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），且在點(diǎn)A處的切線恰好與直線9x-y+3=0平行．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將M的坐標(biāo)代入f（x）的解析式，得到關(guān)于a，b的一個等式；求出導(dǎo)函數(shù)，求出f′（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為-1，列出關(guān)于a，b的另一個等式，解方程組，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，據(jù)題意知[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端點(diǎn)的大小，求出m的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點(diǎn)M（1，4），∴a+b=4    ①式 
f'（x）=3ax²+2bx，則f'（1）=3a+2b
由條件f′（1）=9，即3a+2b=9    ②式
由①②式解得a=1，b=3
（2）f（x）=x³+3x²，f'（x）=3x²+6x，
令f'（x）=3x²+6x≥0得x≥0或x≤-2
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增
∴[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞）
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3

點(diǎn)評：注意函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率；屬于中檔題．