【題目】若bm為數(shù)列{2n}中不超過Am3(m∈N*)的項(xiàng)數(shù),2b2=b1+b5且b3=10,則正整數(shù)A的值為

【答案】64或65
【解析】解:依題意: ,f(1)=A,f(2)=8A,f(5)=125A,
設(shè)b1=t,即數(shù)列{an}中,不超過A的項(xiàng)恰有t項(xiàng),
∴2t≤A<2t+1 ,
同理:2t+d≤8A<2t+d+1 , 2t+2d≤125A<2t+2d+1 ,
可得:2t≤A<2t+1 , 2t+d3≤A<2t+d2 , ,
故max{ }≤A<min{ },
由以下關(guān)系:2t+d3<2t+1 , ,得d<4,
∵d為正整數(shù),∴d=1,2,3.
當(dāng)d=1時(shí),max{ }=max{ }=2t ,
min{ }=min{ }= <2t , 不合題意,舍去;
當(dāng)d=2時(shí),max{ }=max{ }=2t ,
min{ }=min{ }= <2t , 不合題意,舍去;
當(dāng)d=3時(shí),max{ }=max{ }=2t
min{ }=min{ }= >2t , 適合題意.
此時(shí)2t≤A< ,b1=t,b2=t+3,b5=t+6,∴t+3≤b3≤t+6.
∵b3=10,∴4≤t≤7,
∵t為整數(shù),∴t=4,t=5,t=6或t=7.
∵f(3)=27A,b3=10,
∴210≤27A<211 , ∴ ≤A<
當(dāng)t=4時(shí),24≤A< ,∴無解.
當(dāng)t=5時(shí),25≤A< ,∴無解.
當(dāng)t=6時(shí),26≤A< ,∴64≤A<
當(dāng)t=7時(shí),27≤A< ,∴無解.
則26≤A<
∵A∈N* , ∴A=64或A=65.
綜上:A=64或65.
所以答案是:64或65.
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本,需要知道如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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