【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,平面四邊形ABCD中AD∥BC,∠BAD為二面角B﹣PA﹣D一個平面角.

(1)若四邊形ABCD是菱形,求證:BD⊥平面PAC;
(2)若四邊形ABCD是梯形,且平面PAB∩平面PCD=l,問:直線l能否與平面ABCD平行?請說明理由.

【答案】
(1)證明:∵在四棱錐P﹣ABCD中,平面四邊形ABCD中AD∥BC,∠BAD為二面角B﹣PA﹣D一個平面角,

∴PA⊥AB,PA⊥AD,

又AB∩AD=A,∴PA⊥平面ABCD,

∵BD⊥PA,

∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,

∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC


(2)解:直線l不能與平面ABCD平行.

理由如下:

∵四邊形ABCD是梯形,且平面PAB∩平面PCD=l,

∴CD與AB有交點P,∴P∈l,

∴直線l∩平面ABCD=P,

∴直線l不能與平面ABCD平行.


【解析】(1)由已知得PA⊥AB,PA⊥AD,從而BD⊥PA,由四邊形ABCD是菱形,得AC⊥BD,由此能證明BD⊥平面PAC.(2)由四邊形ABCD是梯形,且平面PAB∩平面PCD=l,得CD與AB有交點P,從而直線l∩平面ABCD=P,由此得到直線l不能與平面ABCD平行.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想即可以解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】甲、乙兩所學校高三年級分別有600人,500人,為了解兩所學校全體高三年級學生在該地區(qū)五校聯(lián)考的數(shù)學成績情況,采用分層抽樣方法從兩所學校一共抽取了110名學生的數(shù)學成績,并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下:
甲校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

3

4

7

14

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

17

x

4

2

乙校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

1

2

8

9

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

10

10

y

4


(1)計算x,y的值;
(2)若規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為兩所學校的數(shù)學成績有差異;
(3)若規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀,現(xiàn)從已抽取的110人中抽取兩人,要求每校抽1人,所抽的兩人中有人優(yōu)秀的條件下,求乙校被抽到的同學不是優(yōu)秀的概率.

甲校

乙校

總計

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
臨界值表:

P(K2≥k0

0.10

0.05

0.010

k0

2.706

3.841

6.635

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