【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓上一點(diǎn)(在x軸上方),連結(jié)PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)Q,設(shè)=λ.
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,),且△PQF2的周長(zhǎng)為8,求橢圓C的方程;
(2)若PF2垂直于x軸,且橢圓C的離心率e∈[,],求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】(1)+=1;(2)[,5]
【解析】
試題分析:(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,實(shí)質(zhì)就是要求的值,為此要找兩個(gè)關(guān)于的方程,本題由已知,把點(diǎn)坐標(biāo)代入可得一個(gè)方程,由橢圓定義知的周長(zhǎng)是,又可得值,從而得解;(2)本小題關(guān)鍵是建立起與離心率的關(guān)系,利用兩點(diǎn)在橢圓上,由軸可求得,由=λ,可求得點(diǎn)坐標(biāo),把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,再轉(zhuǎn)化后可得的關(guān)系(λ2+4λ+3)e2=λ2-1,因?yàn)?/span>λ+1≠0,故有λ=,從而可得的范圍.
試題解析:(1)因?yàn)镕1,F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點(diǎn),且P,Q為橢圓上的點(diǎn),
所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a,從而△PQF2的周長(zhǎng)為4a.
由題意,得4a=8,解得a=2.
因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,),所以,
解得b2=3.
所以橢圓C的方程為.
(2)方法一:因?yàn)?/span>PF2⊥x軸,且P在x軸上方,故設(shè)P(c,y0),y0>0.設(shè)Q(x1,y1).
因?yàn)镻在橢圓上,所以,解得y0=,即P(c,).
因?yàn)镕1(-c,0),所以=(-2c,-),=(x1+c,y1).
由=λ,得-2c=λ(x1+c),-=λy1,
解得x1=,y1=-,所以Q(-c,-).
因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,所以()2e2+=1,
即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1,
因?yàn)?/span>λ+1≠0,
所以(λ+3)e2=λ-1,從而λ=.
因?yàn)閑∈[,],所以≤e2≤,即≤λ≤5.
所以λ的取值范圍為[,5].
方法二:因?yàn)?/span>PF2⊥x軸,且P在x軸上方,故設(shè)P(c,y0),y0>0.
因?yàn)镻在橢圓上,所以,解得y0=,即P(c,).
因?yàn)镕1(-c,0),故直線PF1的方程為.
由得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0.
因?yàn)橹本PF1與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)為P(c,).設(shè)Q(x1,y1),
則x1+c,即-c-x1=.
因?yàn)?/span>,
所以λ==.
因?yàn)閑∈[,],所以≤e2≤,即≤λ≤5.
所以λ的取值范圍為[,5].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,側(cè)棱,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn), 的重心為,直線垂直于平面.
(1)求證:直線平面;
(2)求二面角的余弦.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將y=sinx的圖象
A. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標(biāo)不變
B. 向左平移至個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變
C. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標(biāo)不變
D. 向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,橢圓: 的上焦點(diǎn)為,橢圓的離心率為 ,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過橢圓的上頂點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(不在軸上),垂直于的直線與交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),若,且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), (為常數(shù)).
(Ⅰ) 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象相切,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ) 若, ,且,都有成立,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若對(duì)任意, 有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱為關(guān)于, 的二元函數(shù),現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的為關(guān)于實(shí)數(shù), 的廣義“距離”.
()非負(fù)性: ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào);
()對(duì)稱性: ;
()三角形不等式: 對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立.
給出三個(gè)二元函數(shù):①;②;③,
則所有能夠成為關(guān)于, 的廣義“距離”的序號(hào)為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面的菱形, ,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),AC和DE交于點(diǎn)O,PO ;
(1)求證: ;
(2) 求二面角P-AD-C的大小。
(3)在(2)的條件下,求異面直線PB與DE所成角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)時(shí)代的進(jìn)步,流量成為手機(jī)的附帶品,人們可以利用手機(jī)隨時(shí)隨地的瀏覽網(wǎng)頁,聊天,看視頻,因此,社會(huì)上產(chǎn)生了很多低頭族.某研究人員對(duì)該地區(qū)18∽50歲的5000名居民在月流量的使用情況上做出調(diào)查,所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下圖所示:
(Ⅰ)以頻率估計(jì)概率,若在該地區(qū)任取3位居民,其中恰有位居民的月流量的使用情況
在300M∽400M之間,求的期望;
(Ⅱ)求被抽查的居民使用流量的平均值;
(Ⅲ)經(jīng)過數(shù)據(jù)分析,在一定的范圍內(nèi),流量套餐的打折情況與其日銷售份數(shù)成線性相關(guān)
關(guān)系,該研究人員將流量套餐的打折情況與其日銷售份數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表所示:
折扣 | 1折 | 2折 | 3折 | 4折 | 5折 |
銷售份數(shù) | 50 | 85 | 115 | 140 | 160 |
試建立關(guān)于的的回歸方程.
附注:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
,
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