Question

如圖，兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求證：MN∥平面BCE．

Answer 1

分析：過M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足（如圖），連接PQ，要證MN∥平面BCE，只需證明直線MN平行平面BCE內的直線PQ即可．也可以通過平面與平面的平行，即平面MNG∥平面BCE，來證明MN∥平面BCE，

解答：證法一：過M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足（如圖），連接PQ．
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ．
又NQ=

2

2

BN=

2

2

CM=MP，∴MPQN是平行四邊形．
∴MN∥PQ，PQ?平面BCE．
而MN?平面BCE，
∴MN∥平面BCE．
證法二：過M作MG∥BC，交AB于點G（如圖），連接NG．
∵MG∥BC，BC?平面BCE，
MG?平面BCE，
∴MG∥平面BCE．
又

BG

GA

=

CM

MA

=

BN

NF

，
∴GN∥AF∥BE，同樣可證明GN∥平面BCE．
又面MG∩NG=G，
∴平面MNG∥平面BCE．又MN?平面MNG．∴MN∥平面BCE．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查邏輯思維能力，轉化思想，是中檔題．